Na actividade anterior construíste duas
circunferências na superfície do cone. Observaste também que
a sua posição depende do ângulo de inclinação do cone. Irás
agora inserir os elementos chave da prova de Dandelin. Duas
esferas que serão tangentes ao cone nessas mesmas circunferências.
Neste
modelo irás explorar apenas os casos da elipse e hipérbole.
Por isso começa por recordar a propriedade focal de
cada uma delas:
Elipse
- é
o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das
suas distâncias a dois pontos fixos (os focos) é
constante.
Hipérbole
- é o lugar geométrico dos pontos do plano cujo
módulo da diferença entre as suas distâncias
a dois pontos fixos (os focos) é constante.
Quando inserires as esferas tenta definir cada uma destas
curvas a partir destas. Observa o que acontece à esfera
que se situa acima do plano secante quando o valor do ângulo
de inclinação do cone se aproxima de Pi/4. Que
podes concluir acerca desta esfera para o caso da parábola?
Neste modelo vais tentar estabelecer uma relação
entre os diversos elementos do modelo e as esferas agora inseridas
de modo a encontrares elementos que te permitam provar, a
partir destas, a propriedade focal da elipse e da hipérbole.
Segue
ordenadamente as fases de exploração deste modelo
para uma melhor exploração desta actividade.
Discute as tuas observações e tenta responder
às questões colocadas.
No
final poderás consultar a resolução desta
actividade:
Resolução
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